Blog de matemáticas para adultos. La idea es que las alumnas y alumnos puedan descargar material apropiado para preparar el examen de Matemáticas de la Prueba Común de acceso a ciclos de grado superior y de matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de acceso a la Universidad del Pais Vasco para mayores de 25 años.
En matemáticas, la eliminación de
Gauss-Jordan, llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para
determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar
matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de
Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado
a otro equivalente en el que cada ecuación tiene
una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de
coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan
continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal
Cuadrado de un binomio
suma: (a + b)2 = a2
+ 2ab + b2
(3x + y)2 =
Cuadrado de un binomio
diferencia: (a – b)2 = a2
– 2ab + b2
(2x2 – y)2
=
Diferencia de
cuadrados: a2 – b2
= (a + b) ( a – b)
x2 – y2
=
Adición de cubos:
Diferencia de cubos:
Número irracional
En matemáticas, un número irracional es un número que no puede ser expresado como una fracción , donde y sonenteros, con diferente de cero y donde esta fracción es irreducible. Es cualquier número real que no es racional. Tras distinguir los números componentes de larecta realen tres categorías: (naturales,enterosyracionales), podría parecer que ha terminado la clasificación de los números, pero aun quedan "huecos" por rellenar en la recta de los números reales. Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacíos que dejan los números racionales.
Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicas. De este modo, puede definirse al número irracional como un decimal infinito no periódico [cita requerida]. En general, toda expresión en números decimales es solo una aproximación en números racionales al número irracional referido, por ejemplo, el número racional 1,4142135 es solo una aproximación a 7 cifras decimales del número irracional raíz cuadrada de 2, el cual posee infinitas cifras decimales no periódicas.
Entonces, decimos con toda propiedad que el número raíz cuadrada de dos es aproximadamente igual a 1,4142135 en 7 decimales, o bien es igual a 1,4142135… donde los tres puntos hacen referencia a los infinitos decimales que hacen falta y que jamás terminaríamos de escribir.
Debido a ello, los números irracionales más conocidos son identificados mediante símbolos especiales; los tres principales son los siguientes:
Muchos de quienes tratan esta materia hablan de raíz o de radical, usados como sinónimos. Mientras esto no afecte la comprensión del concepto no hay problema.
En estricto rigor, raíz es una cantidad que se multiplica por sí misma una o más veces para presentarse como un número determinado.
Para encontrar esa cantidad que se multiplica se recurre a la operación de extraer la raíz a partir del número determinado y se ejecuta utilizando el símbolo √, que se llama radical. Por ello es que se habla de operaciones con radicales al referirse a operaciones para trabajar con raíces.
Encontrar o extraer la raíz es realizar la operación contraria o inversa de la potenciación, así como la suma es la operación inversa de la resta y viceversa, y la multiplicación es la operación contraria de la división y viceversa.
Para graficarlo de algún modo:
Potencia
Raíz
Los nombres de las partes que constituyen cada operación matemática son:
X: Base de la potencia X: Valor de la raíz
n: Exponente de la potencia n: Índice de raíz
a: Valor de la potencia a: Cantidad subradical (o radicando)
La raíz consiste en encontrar la base de la potencia conociendo el exponente (que en la raíz se llama índice) y la cantidad subradical.
Cuando el índice de la raíz es 2 (raíz cuadrada), no se acostumbra por convención a colocarlo, se subentiende que es 2.
Para encontrar el valor de una raíz cuadrada se debe hacer la siguiente pregunta:
¿Qué número elevado a 2 (al cuadrado) da como resultado 64?
La respuesta es 8, porque 82 = 64
¿Qué número elevado a 2 da como resultado 100?
La respuesta es 10, porque 102 = 100
En general, para encontrar el valor de una raíz se debe hacer la siguiente pregunta:
¿Qué número elevado al índice de la raíz da como resultado la cantidad subradical (o radicando)?
Raíz: Racionalización de fracciones con radicales
Tratándose de radicales, el proceso de racionalización consiste en eliminar las raíces que se encuentran en el denominador de una fracción.
Dependiendo de las operaciones involucradas dentro de ese denominador pueden presentarse diversos casos:
a) caso en que el denominador contenga una raíz cuadrada, sin adiciones ni sustracciones.
Ejemplo:
Racionalizar:
Como regla general, amplificamos la fracción por el valor de este denominador, en este caso , de la siguiente manera:
b) Caso en que el denominador contenga una raíz cuadrada, con adiciones o sustracciones.
Ejemplo:
Racionalizar:
Igual que en el caso anterior, amplificamos la fracción, ahora por , para formar en el denominador una suma por su diferencia (corresponde al conjugado, que es la misma expresión pero con signo contrario), con lo cual dejamos la expresión en:
c) Caso en que hay una raíz cúbica en el denominador, sin adiciones o sustracciones.
Ejemplo:
Racionalizar:
En este caso amplificamos la fracción por , para dejar la expresión del siguiente modo:
Racionalizar fracciones con radicales en el denominador sirve, entre otras aplicaciones, para ordenar de mayor a menor (para comparar) dichas fracciones.
Ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones:
De acuerdo a lo aprendido arriba, racionalizamos cada una de las fracciones:
Hecho esto, podemos ordenar de mayor a menor:
Raiz: Sacar un factor fuera del radical
Uno de los problemas que encontramos en las operaciones con raíces está en su presentación, ya que muchas veces es imposible realizarlas tal como se nos muestran.
Por ello, resulta imprescindible transformarlas un poco para hacerlas más amigables y manejables, de tal modo que podamos trabajar con ellas.
Se dice que hay que llevarlas a una forma típica, la cual se ha logrado cuando el índice y el radicando son lo más pequeños posibles.
Para conseguirlo, normalmente debemos realizar lo siguiente:
1.- Los radicandos debemos descomponerlos en factores
Ejemplo:
2.- Los índices distintos debemos reducirlos a un índice común
Ejemplo:
3.- Debemos sacar factores fuera del radical
Para hacer esta operación el exponente del radicando debe ser igual o mayor que el índice de la raíz.
Si cumple esta condición, hacemos (exponente dividido por índice).
El resultado (o cociente) lo colocamos fuera del radical como exponente del factor que estamos sacando fuera (corresponde al radicando). Si de la división anterior queda un resto, éste será el exponente del número (el mismo radicando) dentro de la raíz.
Ejemplo:
Sacar fuera de la raíz lo que se pueda:
Como el exponente de 5 (el 15) es mayor que el índice que es 2, dividimos: 15 ÷ 2 = 7 y sobra el resto 1.
El cociente 7 lo hacemos el exponente de 5 fuera de la raíz y el resto (1) será el exponente de 5 dentro de la raíz: .
Recuerda que cuando no escribimos el exponente, se entiende que es 1.
Se recomienda hacer siempre esta división, por muy sencilla que parezca.
Ejemplo:
Sacar fuera de la raíz lo más que se pueda:
Hacemos la división 14 ÷ 3 = 4 y sobra un resto de 2
El cociente, 4, será el exponente de la base 2 (24) fuera de la raíz cúbica y el resto 2 será el exponente del radicando (la misma base 2), para quedar:
Ejemplo:
Calcular o expresar de forma típica
Primero, hacemos la división: 25 ÷ 5 = 5 y el resto es cero (0).
Nuestro resultado será
Aquí debemos notar que cuando el resto es 0, ese es el exponente del radicando y por tanto 70 = 1.
También debemos recordar que
Introducir un factor dentro de un radical
Esta es la operación inversa de lo anterior. Si allí aprendimos a sacar un factor fuera del radical, aquí veremos como introducir dentro de un radical un factor que está fuera de él.
Aquí, el asunto es más simple: Para introducir un factor dentro de un radical, se coloca el factor dentro del radical con un exponente que se obtiene al multiplicar el exponente del factor fuera de la raíz por el índice del radical, la potencia obtenida se multiplica por la potencia que hay dentro del radical.
Ejemplos:
Ejercicios
Introduce dentro del radical Respuesta :
Introduce dentro del radical Respuesta :
Raíz de un radical
Por definición, la raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.
Con un ejemplo sencillo, esto significa lo siguiente:
Raíz ene (n) de la raíz eme (m) de a es igual a raíz ene por eme (n • m) de a.
Otro ejemplo:
En los dos ejemplos anteriores las raíces no poseían factores fuera de ellas; es decir, en el caso anterior era: una raíz cuadradade una raíz cúbica de una raíz cuarta de a.
Veamos ahora un ejemplo con raíces que poseen factores fuera de ellas:
No podemos extraer raíz de raíz si hay factores fuera de alguna de las raíces. Por eso debemos introducir esos factores dentro de las raíces.
¿Cómo lo hacemos?
El factor externo (2) entra en la raíz (se coloca bajo el radical) en forma de potencia con exponente igual al índice de la raíz que la cobija (23):
Simplificación de radicales
Para cumplir con las condiciones que las propiedades de los radicales les imponen a estos cuando participan en alguna operación, uno de los métodos es la simplificación de radicales.
Veámoslo con diferentes ejemplos:
Simplificar
Un radical se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario.
En nuestro ejemplo, se puede expresar como .
Por tanto se puede simplificar igual que una fracción; o sea se divide el índice (12 que se coloca como denominador) y el exponente (9 que se coloca como numerador) por un mismo número. (9 y 12 son divisibles por 3, y quedan como 3 y 4)
Ahora podemos hacer el camino inverso y una potencia con exponente fraccionario como podemos expresarla como un radical .
También se puede simplificar directamente (cuando es posible), dividiendo el índice y el exponente por un mismo número (12 ÷ 3 = 4 y 9 ÷ 3 = 3).
Otros casos y más ejemplos:
Simplificar
Simplificamos directamente dividiendo, en este caso, índice y exponente entre 4.
Simplificar
Expresamos el radical como una potencia con exponente fraccionario y simplificamos la fracción.
Simplificar
Factorizamos la base (64 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26), luego dividimos el índice (9) y el exponente (6) por 3 y desarrollamos el cuadrado de la base (4).
Simplificar
Factorizamos la base (81 = 3 x 3 x 3 x 3 = 34), luego dividimos el índice (8) y el exponente (4) por 2, quedando como índice 2 (que no se escribe) y la base como 3l cuyo exponente (1) tampoco se escribe.
Simplificar
Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva la cantidad subradical o base. Los tres radicales tienen índice 2, lo cual haciendo 2 x 2 x 2 nos da 8. La cantidad subradical o base está elevada a 8, entonces tanto el índice (8) como el exponente (8) los dividimos por 8 y queda solo la cantidad subradical o base k. Simplificar
Multiplicamos los índices (5 x 3 = 15) de las raíces y conservamos el exponente (10) de la base (x), luego simplificamos ambos números por 5, que divide tanto a 15 como a 10.
Simplificar
Expresamos el radical como una potencia con exponente fraccionario , luego simplificamos la fracción del exponente y nos queda , lo cual es lo mismo que donde el exponente 2 de la base se anula con el índice 2 (que no escribe) del radical, para quedar solo x como resultado.
Simplificar
Para dividir (o multiplicar) dos radicales ambos tienen que tener el mismo índice. En este ejemplo no es así, por lo tanto debemos reducir a un índice común, y lo hacemos igual como cuando reducimos fracciones a común denominador.
En este caso, el número o índice común es el 15, el cual dividimos primero por el índice del numerador del radical (15 ÷ 5 = 3) y elevamos la base a ese exponente (3), y luego el 15 lo dividimos por el índice del radical que está como denominador (15 ÷ 3 = 5) y elevamos la base a ese exponente (5) para que la división quede
, con los dos radicales con el mismo índice (15) y se puede realizar la operación.
Simplificar
El radical del numerador tiene índice 2 y el radical de denominador tiene índice 3. Para hacer la división debemos igualar los índices. Entre 3 y 2 el índice común es 6, lo aplicamos y operamos igual que el ejemplo anterior.
Simplificar
Simplificar
Efectuar
Sumar y simplificar
Debemos recordar que para poder sumar radicales éstos tienen que tener el mismo índice y el mismo radicando. Los radicales del ejemplo tienen el mismo índice pero distinto radicando. Vamos a factorizar los radicandos (o bases) para extraer de cada sumando todos los factores posibles:
Ahora sumamos los coeficientes de cada raíz; o sea, los números que van delante de cada uno de ellos multiplicando:
Los números reales
El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por .
Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo, y la división por cero.
La recta real
A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.
Representación de los números reales
Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta.
LOS POLINOMIOS
Seguramente habrás usado ya los polinomios, tal vez sin saber que se llaman de esta forma. En un polinomio aparecen variables y constantes sumadas, restadas o multiplicadas entre sí y acompañadas de exponentes naturales. Por ejemplo, ésto es un polinomio:
Uno de los problemas más antiguos de las matemáticas es hallar las raíces de un polinomio dado, es decir, calcular los valores de las variables para los que el valor del polinomio es cero. En el papiro egipcio llamado Papiro de Moscú, escrito hace aproximadamente unos 3900 años, ya se usaba un polinomio para calcular el volumen de una pirámide truncada.
Sin embargo, la forma con la que escribimos hoy en día los polinomios es más reciente: se desarrolló en torno al siglo XV, especialmente con la publicación en 1637 del libro La géometrie. Su autor, René Descartes, fue el que propuso usar letras del final del alfabeto (x, y, z) para representar las variables, y las primeras letras (a, b, c...) para las constantes. También ideó usar números pequeños en posición elevada para denotar los exponentes, tal y como seguimos haciendo hoy en día.
.
Los polinomios se usan en muchos campos de la ciencia, y de hecho el cálculo de sus valores tiene una importancia fundamental en la generación de imágenes digitales, como la que ves encima de este texto.
Teorema del resto
En álgebra el teorema del resto afirma que el resto , que resulta al dividir un polinomio entre , es igual a
Esto se deduce directamente de una de las propiedades de la división, la que dice que
donde es el dividendo, el divisor, el cociente y el resto y verificándose además, que el grado de es menor que el grado de .
En efecto, si tomamos el divisor entonces tiene grado menor que 1 (el grado del resto es 0); es decir, es unaconstante que podemos llamar r, y la fórmula anterior se convierte en:
Tomando el valor se obtiene que:
El teorema del resto nos permite calcular calculando el resto o viceversa. También puede deducirse de él, fácilmente, el teorema del factor, de gran utilidad para descomponer un polinomio en factores.
Ejemplo
Sea .
Al dividir por obtenemos el cociente
y el resto .
Podemos asegurar entonces, que .
Teorema del factor
Una consecuencia directa es que es un factor del polinomio si y sólo si .
, que resulta al dividir un 
entre 
, es igual a 
(
numero "fi"
¿Qué número elevado a 2 da como resultado 100?
, de la siguiente manera:
, para formar en el denominador una suma por su diferencia (corresponde al conjugado, que es la misma expresión pero con signo contrario), con lo cual dejamos la expresión en:
, para dejar la expresión del siguiente modo:
(exponente dividido por índice).
.
Respuesta : 
Respuesta : 
.
podemos expresarla como un radical 
.
, luego simplificamos la fracción del exponente y nos queda 
, lo cual es lo mismo que 
donde el exponente 2 de la base se anula con el índice 2 (que no escribe) del radical, para quedar solo x como resultado.
, con los dos radicales con el mismo índice (15) y se puede realizar la operación.
.
.
el divisor, 
el cociente y 
el resto y verificándose además, que el grado de 
entonces 
se obtiene que:
calculando el resto o viceversa. También puede deducirse de él, fácilmente, el 
.
por 
obtenemos el cociente
y el resto 
.
.
es un factor del polinomio 
si y sólo si 
.